宇宙空間の連結性：宇宙論におけるトポロジーの探求とその観測的制約
宇宙空間の形状を問う：曲率とトポロジー
私たちが住む宇宙はどのような形をしているのでしょうか。この根源的な問いは、宇宙論の最も基本的なテーマの一つです。一般相対性理論に基づけば、宇宙全体の形状は空間の曲率によって記述されます。曲率は、宇宙に存在する物質やエネルギーの密度によって決定され、正の曲率を持つ閉じた宇宙、負の曲率を持つ開いた宇宙、そして曲率がゼロの平坦な宇宙という三つの可能性が存在します。現在の高精度な観測、特に宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の詳細な観測からは、宇宙の曲率は非常にゼロに近い、すなわちほぼ平坦であることが強く示唆されています。
しかし、宇宙の形状を語る上で考慮すべきもう一つの重要な側面があります。それが空間の「連結性」であり、数学的にはトポロジーと呼ばれます。曲率は空間の局所的な性質を記述しますが、トポロジーは空間全体の大域的な性質、つまり「どのように繋がっているか」を記述します。たとえ空間の曲率が完全にゼロの平坦な宇宙であっても、そのトポロジーは多様であり得るのです。例えば、無限に広がるユークリッド空間だけでなく、トーラスのように「有限だが端がない」空間も平坦な曲率を持ち得ます。宇宙論におけるトポロジーの探求は、私たちの宇宙が有限なのか無限なのか、あるいは観測可能な宇宙の向こう側がどうなっているのか、といった問いに深く関わっています。
多様な宇宙のトポロジーモデル
宇宙空間のトポロジーは、その連結性の構造によって分類されます。最も単純なケースは、無限に広がる単一連結空間です。平坦な場合は無限のユークリッド空間（R³）、正の曲率の場合は三次元球面（S³）、負の曲率の場合は双曲空間（H³）がこれにあたります。これらの空間では、どの方向へ進んでも無限に広がり続け、スタート地点に戻ることはありません。
しかし、空間は単一連結である必要はありません。複数の点や方向が繋がっている「多重連結」な空間も考えられます。特に宇宙論で興味が持たれているのは、空間がコンパクト（有限体積）でありながら境界を持たない、平坦または曲率を持つ多様体です。
- 平坦なトーラス宇宙: 平坦な三次元空間を直方体で区切り、向かい合う面同士を貼り合わせた空間です。この空間は有限体積を持ちますが、直方体の面を通過すると反対側の面から出現するため、境界がありません。三方向にそれぞれ独立した周期を持つ平坦なトーラス宇宙など、様々な種類があります。
- 曲率を持つコンパクト宇宙: 正の曲率を持つ空間として、三次元球面上に構築される多重連結な空間があります。例えば、ポアンカレ空間（十二面体空間）は、正の曲率を持つ三次元球面をある離散群で割って得られる空間で、有限体積を持ちます。負の曲率を持つ空間にも、様々なコンパクトな多様体が存在します。
これらの多重連結な宇宙では、たとえまっすぐ進み続けたとしても、いずれ元の場所に戻ってくることになります。あるいは、異なる二つの方向を見ても、実際には同じ天体や構造の「複製」を見ている可能性があります。
トポロジーが観測に与える影響
宇宙のトポロジーは、私たちが観測できる宇宙の様々な側面に影響を与え得ます。最も直接的な影響は、観測可能な宇宙が全宇宙よりも大きいか小さいかという点です。
もし全宇宙がコンパクトで、そのサイズが観測可能な宇宙（光がビッグバン以降に届きうる領域）よりも小さい場合、私たちは宇宙空間を「何度も見ている」ことになります。これは、地球を取り囲む天球上の特定の方向と、それとは異なる方向を見ているにも関わらず、実際には同じ銀河団やクエーサーの複製を見ている、という形で現れるかもしれません。周期的なパターンとして構造が繰り返されているように見える可能性があります。
また、宇宙最古の光であるCMBのパターンにも影響が現れると考えられています。CMBは、初期宇宙のわずかな温度ゆらぎを写し取ったもので、そのゆらぎのパターンには宇宙の幾何学的情報がEncodeされています。もし宇宙がコンパクトなトポロジーを持つならば、CMBの温度ゆらぎの相関関数に特定のパターンが現れたり、空全体に投影されたCMBマップに「円のペア」として知られる特徴的な構造が見つかる可能性があります。これは、同じ場所の異なる時間におけるCMBの複製が、観測可能な宇宙の境界線に沿って現れるというアイデアに基づいています。
さらに、宇宙の大規模構造（銀河や銀河団の分布）にも影響を与えるかもしれません。もし宇宙がコンパクトならば、大規模構造の統計的な性質に特定のスケールで周期性が現れる可能性があります。
トポロジーの観測的探求と現在の制約
宇宙のトポロジーを観測的に決定することは、極めて困難な課題です。これまでに様々な方法が試みられてきました。
一つのアプローチは、CMBの温度ゆらぎの相関関数を詳細に解析することです。コンパクトなトポロジーは、特定のスケールでの相関に影響を与え、CMBの角パワースペクトルに特徴的な凹凸を生じさせると予想されます。プランク衛星などによる高精度なCMBデータは、大きなスケールでのCMBゆらぎが標準的なインフレーションモデルの予測と比べてやや弱いという「低温点異常」など、いくつかの興味深いアノマリーを示していますが、これが特定のコンパクトなトポロジーによるものか否かはまだ結論が出ていません。
もう一つの重要な手法は、CMBマップにおける「円のペア」を探すことです。もし観測可能な宇宙がトーラスなどのコンパクトな空間の中に存在し、その空間の境界がCMBの「最後の散乱面」を複数回横切っている場合、異なる方向に見える二つの円周上で、CMBの温度ゆらぎが同じパターンを示すと予想されます。この円のペアを探すアルゴリズムが開発され、CMBデータに適用されていますが、これまでのところ信頼できる証拠は見つかっていません。この手法は、特に宇宙のサイズが観測可能な宇宙よりも小さい場合に有効です。
大規模構造の観測も、トポロジーの情報を得る手がかりとなり得ます。銀河の三次元分布などを解析し、空間的な周期性や繰り返しパターンを統計的に探す試みが行われています。しかし、大規模構造はCMBよりも複雑な非線形進化を経ており、トポロジーの影響と他の物理効果を区別することは容易ではありません。
現在の観測結果は、もし宇宙がコンパクトなトポロジーを持つとしても、そのサイズは少なくとも観測可能な宇宙の地平線と同程度か、それよりも大きい可能性が高いことを示唆しています。特にCMBの解析からは、宇宙のサイズがハッブル半径（観測可能な宇宙の大きさのおおよその目安）よりもかなり小さい可能性は排除されています。
残された課題と今後の展望
宇宙のトポロジーは、未だ決定されていない宇宙論の基本的なパラメータの一つです。現在の観測データは、宇宙が少なくとも観測可能な範囲では非常に広大で、見た目には単一連結空間のように振る舞っていることを強く示唆しています。しかし、観測可能な宇宙の「向こう側」のトポロジーについては、まだ制約が十分ではありません。
なぜ宇宙が現在の観測が示唆するような平坦で広大な空間になったのかという問いは、初期宇宙のインフレーション理論によって説明される試みがなされています。インフレーションは、指数関数的な急膨張によって初期の宇宙のごく小さな領域を観測可能なサイズにまで引き伸ばすため、どんな初期トポロジーもインフレーションによって観測できないほど大きなスケールに引き伸ばされてしまうと考えられています。もしインフレーションが非常に長く続いたのであれば、私たちは無限に近い広がりを持つ空間を見ていることになり、トポロジーを観測的に捉えることは極めて困難になります。
しかし、インフレーションのモデルによっては、膨張が有限の時間で終了したり、局所的にしか発生しなかったりする場合も考えられます。そのようなシナリオでは、宇宙のトポロジーが観測可能なスケールに残されている可能性も排除できません。
今後の観測、例えばCMBの偏光の詳細な測定や、さらに広範囲かつ深遠な大規模構造サーベイは、宇宙のトポロジーにさらなる制約を与える可能性があります。また、初期宇宙の重力波など、CMBよりもさらに古い時代の情報を得る観測も、トポロジー探求の新たな道を開くかもしれません。
宇宙空間のトポロジーを探求することは、単にその形状を知るだけでなく、宇宙の始まりやその根源的な構造、そしてインフレーションのような初期宇宙の物理過程について理解を深める上で、重要な意味を持っています。それは、私たちの宇宙がどのような「箱」の中に存在しているのか、あるいは全く箱に入っていないのか、という壮大な問いへの挑戦でもあります。